在數學教學中，教師合理設計問題，適時追問，能推動學生思維的層層遞進。在教師的提問下，學生思維經過記憶、理解到分析、綜合、評價，實現了思維層次的逐步提高。
日常的思維，就像我們普通的行走能力一樣，是每個人與生俱來的。但是，高層思維能力，就像百米賽跑一樣，是一種技術、技巧上訓練的結果。賽跑選手需要訓練才能掌握百米沖刺技巧，同樣，思維能力也需要相應的教學支持。
教師設計的問題
《直角三角形的性質》是初中幾何部分的重點內容，在初二階段具有承上啟下的作用，是后面學習四邊形、銳角三角形的基礎。以上海三門中學姚老師一節課為例，提問一直貫穿著這節課。教師在這堂課中一共拋出了五大問題：
1.什么叫直角三角形？
2.Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A與∠B有怎樣的數量關系？追問：如何用數學符號語言描述相關定理？
3.給你一個直角三角形紙片，如何只剪一刀，將它分成兩個直角三角形呢？追問一：你是怎么剪的，有沒有成功？為什么通過折疊的方法剪出的三角形是直角三角形？追問二：前面的剪法都是過直角頂點，若不過直角頂點，過另外兩個頂點去剪的話，能否得到兩個直角三角形？如果不是的話，那得到的是什么樣的圖形呢？追問三：如果不過三角形頂點剪會得到什么樣的圖形呢？轉問：圖中有4個銳角∠A、∠B、∠1、∠2兩兩之間有怎樣的數量關系？請說明理由。
4.給你一個直角三角形紙片，如何只剪一刀，將它分割成兩個等腰三角形？追問一：選取斜邊中點的剪法的話，你有沒有測量過，為什么沿著這條線剪，得到的就是等腰三角形呢？追問二：按這個圖形的話，圖中有哪些線段相等呢？追問三：第二種剪法你是怎么剪的，請說明理由。
5.第二種剪法中，你所發現的結論如何用文字命題來描述？追問一：這個命題的已知、求證是什么？追問二：如何證明這兩個結論？追問三：這兩個三角形的全等用哪種判定方法？這對三角形可以通過哪種運動方式得到呢？為什么證平行呢？追問四：還有其他方法嗎？這種方法的證明思路是什么？全等的理由是什么？全等之后想要得到什么結論？這對三角形可以通過哪種運動方式得到呢？
對教師所提問題的分析
從教師提出的五大問題可以看出：問題1是直角三角形的定義，問題2是直角三角形兩銳角互余，這兩個問題學生可以通過已有的思維水平解決；問題3需要學生通過分析問題，將已學過的內容進行整合，進而選取合適的解決方式；問題4需要學生在問題3的基礎上進一步思考、創新去解決，并且評價其他同學的想法是否正確；問題5需要學生在問題4的基礎上，進一步進行抽象，用創造性思維解決定理2的證明。問題3、4、5的解決，教師不是以講為主，消極地適應學生智力發展的已有水平，而是走在發展的前面，把學生的認知從一個已有的水平引導到一個更高的水平。
幾何證明本身就具有較高層次的思維要求。數學是最嚴謹、最嚴格的學科，在這節對直角三角形的性質的研究與學習的課中，教師多次追加問題，從追問頻率和追問方式角度進行分析，教師的追問方式集中在逆向追問和因果追問兩種方式。因果追問能夠引發學生深入思考，給學生提供展示思維過程的機會。這樣有利于教師及時了解學生的學習過程和學習方法，以便教師調整教學策略，向學生提供具體的幫助和指導。逆向追問能夠引導學生針對某一具體問題進行多角度、多層面的分析與研究，培養學生的反思能力，提升學生的思維水平。教師這些分層遞進的追問，對學生邏輯思維的提升具有很大的促進作用。
開放性問題的意義
在定理的引入及證明這個過程中，教師通過一系列的開放性問題來啟發、引導學生。教師通過一個剪紙操作向學生展示：給你一個直角三角形紙片，如何只剪一刀，將它分割成兩個等腰三角形，讓學生通過小組合作來尋求解決方法。在學生回答的過程中，我們也看到了學生思維的變化：有的小組通過找到斜邊中點，然后用測量斜邊中線和斜邊的長度的數量關系來驗證；有的小組通過將直角分割成兩個銳角，通過等角對等邊來得到線段的相等；有的小組通過折紙的方式得到兩個等腰三角形……，這些方法為后面證明定理2提供了思路。剪紙完成之后，教師讓學生嘗試著用文字語言來描述他們發現的結論，注重對學生數學表達能力的培養。在定理2的證明上學生各抒己見，有的學生通過倍長中線，利用兩次全等證明；有的學生通過做雙垂線，利用兩次全等證明；有的學生通過做平行線，利用兩次全等證明；有的學生試圖利用平行四邊形的性質證明……在這個片斷中，教師通過對教材中這部分內容的改編、加工，設計了一系列開放性證明方法，這些都有助于激發學生的探究興趣。
吳小寶
上海理工大學附屬初級中學
